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`!Involution`! bedeutet in der Mathematik eine selbst`F33f`_`[inverse`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Inverses_Element]`_`f `F33f`_`[Abbildung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Abbildung_(Mathematik)]`_`f. Die Bezeichnung leitet sich von dem lateinischen Wort `*involvere`* „einwickeln“ ab.

>>Contents

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Eigenschaften`#eigenschaften]`_`f

• `F0af`_`[Involutionen auf Vektorräumen`#involutionen-auf-vektorr-umen]`_`f

• `F0af`_`[Beispiele`#beispiele]`_`f

• `F0af`_`[Negatives und Kehrwert`#negatives-und-kehrwert]`_`f

• `F0af`_`[Logik`#logik]`_`f

• `F0af`_`[Die komplexe Konjugation`#die-komplexe-konjugation]`_`f

• `F0af`_`[Die Quaternionen-Konjugation`#die-quaternionen-konjugation]`_`f

• `F0af`_`[Das Transponieren von Matrizen`#das-transponieren-von-matrizen]`_`f

• `F0af`_`[Rechnen in F 2`#rechnen-in-f-2]`_`f

• `F0af`_`[Geometrie`#geometrie]`_`f

• `F0af`_`[Involutorische Chiffren`#involutorische-chiffren]`_`f

• `F0af`_`[Körperinvolution`#k-rperinvolution]`_`f

• `F0af`_`[Literatur`#literatur]`_`f

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>>Definition

Eine Abbildung f : : A → → A {\\displaystyle f\\colon A\\rightarrow A} mit übereinstimmender `F33f`_`[Definitions-`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Definitionsmenge]`_`f und `F33f`_`[Zielmenge`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zielmenge]`_`f A {\\displaystyle A} heißt `*Involution`*, wenn für alle x ∈ ∈ A {\\displaystyle x\\in A} gilt: f ( f ( x ) ) = x {\\displaystyle f(f(x))=x} .

Diese Forderung lässt sich auch kompakter formulieren als f ∘ ∘ f = id A {\\displaystyle f\\circ f=\\operatorname {id} _{A}} oder f 2 = id A {\\displaystyle f^{2}=\\operatorname {id} _{A}} . Dabei bezeichnet id A {\\displaystyle \\operatorname {id} _{A}} die `F33f`_`[Identität`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Identische_Abbildung]`_`f auf A {\\displaystyle A} .

>>Eigenschaften

• Jede Involution ist eine `F33f`_`[Bijektion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Bijektion]`_`f und es gilt f − − 1 = f {\\displaystyle f^{-1}=f} .

• Wenn f : : A → → A {\\displaystyle f\\colon A\\to A} und g : : A → → A {\\displaystyle g\\colon A\\to A} Involutionen sind, dann ist ihre `F33f`_`[Komposition`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Komposition_(Mathematik)]`_`f f ∘ ∘ g {\\displaystyle f\\circ g} genau dann selbst eine Involution, wenn f ∘ ∘ g = g ∘ ∘ f {\\displaystyle f\\circ g=g\\circ f} gilt.

• Ist f : : A → → A {\\displaystyle f\\colon A\\to A} eine Involution und g : : A → → A {\\displaystyle g\\colon A\\to A} eine Bijektion, dann ist die Komposition g ∘ ∘ f ∘ ∘ g − − 1 {\\displaystyle g\\circ f\\circ g^{-1}} ebenfalls eine Involution. Mit dieser Eigenschaft können neue Involutionen erzeugt werden.

• Ist π π {\\displaystyle \\pi } eine Bijektion der endlichen Menge N n = { 1 , … … , n } {\\displaystyle \\mathbb {N} _{n}=\\{1,\\dotsc ,n\\}} (also ein Element der `F33f`_`[symmetrischen Gruppe S n {\displaystyle S_{n}}`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Symmetrische_Gruppe]`_`f), dann ist π π {\\displaystyle \\pi } genau dann involutorisch, wenn es sich als `F33f`_`[Produkt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Produkt_(Mathematik)]`_`f aus lauter disjunkten `F33f`_`[Vertauschungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vertauschung]`_`f schreiben lässt. Man spricht in diesem Fall von einer `F33f`_`[selbstinversen Permutation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Selbstinverse_Permutation]`_`f.

• Der `F33f`_`[Graph`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Funktionsgraph]`_`f einer Involution in den `F33f`_`[Reellen Zahlen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Reelle_Zahl]`_`f ist symmetrisch zur `F33f`_`[Winkelhalbierenden`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Identische_Abbildung]`_`f, die selbst der Graph der trivialen Involution ist. Daraus folgt, dass eine Verschiebung einer Involution entlang der Winkelhalbierenden ebenfalls eine Involution ergibt. Die Involution f ( x ) {\\displaystyle f(x)} ist also invariant unter der Abbildung f ( x ) → → f ( x − − a ) + a {\\displaystyle f(x)\\to f(x-a)+a} mit a ∈ ∈ R {\\displaystyle a\\in \\mathbb {R} } , dies ist ein Spezialfall der Komposition einer Bijektion mit der Involution und ihrer Inversen.

>>>Involutionen auf Vektorräumen

Sei V {\\displaystyle V} ein endlichdimensionaler `F33f`_`[Vektorraum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vektorraum]`_`f über dem Körper K {\\displaystyle K} .

• Eine (lineare) `F33f`_`[Selbstabbildung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Selbstabbildung]`_`f f ∈ ∈ End ⁡ ⁡ ( V ) {\\displaystyle f\\in \\operatorname {End} (V)} ist genau dann involutorisch, wenn das `F33f`_`[Minimalpolynom`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Minimalpolynom_(Lineare_Algebra)]`_`f von f {\\displaystyle f} die Form x 2 − − 1 {\\displaystyle x^{2}-1} , x − − 1 {\\displaystyle x-1} oder x + 1 {\\displaystyle x+1} hat. Das bedeutet insbesondere:

• Ist die `F33f`_`[Charakteristik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Charakteristik_(Algebra)]`_`f des Grundkörpers K {\\displaystyle K} von 2 verschieden, so ist jeder involutorische `F33f`_`[Endomorphismus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Endomorphismus]`_`f `F33f`_`[diagonalisierbar`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Diagonalisierbar]`_`f und alle seine `F33f`_`[Eigenwerte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Eigenwert]`_`f liegen in { − − 1 ; + 1 } {\\displaystyle \\{-1;+1\\}} .

• Jede Involution f ∈ ∈ End ⁡ ⁡ ( V ) {\\displaystyle f\\in \\operatorname {End} (V)} ist eine `F33f`_`[Darstellung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Darstellung_(Gruppe)]`_`f der Gruppe `F33f`_`[Z/2Z`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Z2_(Gruppe)]`_`f in der `F33f`_`[allgemeinen linearen Gruppe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Allgemeine_lineare_Gruppe]`_`f GL(V).

• Über Körpern K {\\displaystyle K} mit der Charakteristik 2 gibt es nicht diagonalisierbare involutorische Endomorphismen. So ist im zweidimensionalen Vektorraum F 2 2 {\\displaystyle \\mathbb {F} _{2}^{2}} durch die Matrix ( 1 1 0 1 ) {\\displaystyle {\\begin{pmatrix}1&1\\\\0&1\\end{pmatrix}}} eine Involution gegeben, die nicht diagonalisierbar ist.

>>Beispiele

>>>Negatives und Kehrwert

Die Abbildungen

R → → R , x ↦ ↦ − − x {\\displaystyle \\mathbb {R} \\to \\mathbb {R} ,\\quad x\\mapsto -x}

und

R × × → → R × × , x ↦ ↦ 1 x {\\displaystyle \\mathbb {R} ^{\\times }\\to \\mathbb {R} ^{\\times },\\quad x\\mapsto {\\frac {1}{x}}}

sind Involutionen, denn es gilt

− − ( − − x ) = x {\\displaystyle -(-x)=x} für alle x ∈ ∈ R {\\displaystyle x\\in \\mathbb {R} }

und

1 1 / x = x {\\displaystyle {\\frac {1}{1/x}}=x} für alle x ≠ ≠ 0 {\\displaystyle x\\neq 0} .

Ist allgemein G {\\displaystyle G} eine `F33f`_`[abelsche Gruppe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Abelsche_Gruppe]`_`f, so ist die Abbildung g ↦ ↦ − − g {\\displaystyle g\\mapsto -g} (bei additiver Schreibweise) bzw. g ↦ ↦ g − − 1 {\\displaystyle g\\mapsto g^{-1}} (bei multiplikativer Schreibweise) ein `F33f`_`[Gruppenautomorphismus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gruppenautomorphismus]`_`f und eine Involution. Für eine nichtabelsche Gruppe ist diese Abbildung zwar auch eine Involution, aber kein `F33f`_`[Gruppenhomomorphismus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gruppenhomomorphismus]`_`f (gleichwohl ein `F33f`_`[Gruppen-Antihomomorphismus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Antihomomorphismus]`_`f).

>>>Logik

Die Negation in der `F33f`_`[klassischen Logik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Klassische_Logik]`_`f ist ebenfalls eine Involution, denn es gilt:

∀ ∀ x ( ¬ ¬ ¬ ¬ x ↔ ↔ x ) {\\displaystyle \\forall x(\\lnot \\lnot x\\leftrightarrow x)}

>>>Die komplexe Konjugation

Beim Rechnen mit `F33f`_`[komplexen Zahlen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Komplexe_Zahl]`_`f ist das Bilden der `F33f`_`[konjugiert-komplexen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Komplexe_Zahl]`_`f Zahl eine Involution: Für eine komplexe Zahl z = a + b i {\\displaystyle z=a+b\\mathrm {i} } mit a , b ∈ ∈ R {\\displaystyle a,b\\in \\mathbb {R} } ist die konjugiert-komplexe Zahl

z ¯ ¯ = z ∗ ∗ = a − − b i . {\\displaystyle {\\bar {z}}=z^{*}=a-b\\mathrm {i} .}

Nochmalige Ausführung der Konjugation liefert z ¯ ¯ ¯ ¯ = z ∗ ∗ ∗ ∗ = a + b i = z {\\displaystyle {\\overline {\\overline {z}}}=z^{**}=a+b\\mathrm {i} =z} .

>>>Die Quaternionen-Konjugation

Zur `F33f`_`[Quaternion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quaternion]`_`f

x = x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k {\\displaystyle x=x_{0}+x_{1}\\mathrm {i} +x_{2}\\mathrm {j} +x_{3}\\mathrm {k} }

mit x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ∈ ∈ R {\\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}\\in \\mathbb {R} } wird die `F33f`_`[konjugierte Quaternion`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quaternion]`_`f durch

x ¯ ¯ = x 0 − − x 1 i − − x 2 j − − x 3 k {\\displaystyle {\\bar {x}}=x_{0}-x_{1}\\mathrm {i} -x_{2}\\mathrm {j} -x_{3}\\mathrm {k} }

gebildet. Wegen der Umkehrung der Reihenfolge (wichtig bei nicht-`F33f`_`[kommutativen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kommutativ]`_`f Ringen!) der Faktoren bei der Multiplikation

x ⋅ ⋅ y ¯ ¯ = y ¯ ¯ ⋅ ⋅ x ¯ ¯ {\\displaystyle {\\overline {x\\cdot y}}={\\bar {y}}\\cdot {\\bar {x}}}

wird diese Konjugation als `F33f`_`[Antiautomorphismus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Antiautomorphismus]`_`f bezeichnet.

Nochmalige Ausführung der Konjugation liefert

x ¯ ¯ ¯ ¯ = x . {\\displaystyle {\\overline {\\overline {x}}}=x.}

Sie ist also eine Involution.

Beide Eigenschaften zusammen ergeben einen `F33f`_`[involutiven Antiautomorphismus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Antiautomorphismus]`_`f.

>>>Das Transponieren von Matrizen

In der Menge R n × × n {\\displaystyle R^{n\\times n}} der quadratischen `F33f`_`[Matrizen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Matrix_(Mathematik)]`_`f über einem Ring R {\\displaystyle R} ist das `F33f`_`[Transponieren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Transponierte_Matrix]`_`f

⋅ ⋅ T : : R n × × n → → R n × × n {\\displaystyle \\cdot ^{T}\\colon R^{n\\times n}\\rightarrow R^{n\\times n}} , A ↦ ↦ A T {\\displaystyle A\\mapsto A^{T}}

eine Involution. Da R n × × n {\\displaystyle R^{n\\times n}} ein Ring ist, sogar ein involutiver Antiautomorphismus.

Aus dieser Eigenschaft folgt zusammen mit der Selbstinversität der komplexen Konjugation, dass das `F33f`_`[Adjungieren`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Adjungierte_Matrix]`_`f einer Matrix eine Involution ist.

>>>Rechnen in F 2

In der additiven Gruppe des `F33f`_`[Restklassenkörpers`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Endlicher_Körper]`_`f F 2 {\\displaystyle \\mathbb {F} _{2}} ist die Abbildung x ↦ ↦ x + 1 {\\displaystyle x\\mapsto x+1} eine Involution:

( x + 1 ) + 1 = x . {\\displaystyle (x+1)+1=x.}

>>>Geometrie

In der `F33f`_`[Geometrie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Geometrie]`_`f sind Punkt- und Geradenspiegelungen Involutionen.

>>>Involutorische Chiffren

Involutorische Chiffren weisen die Eigenart auf, dass der `F33f`_`[Algorithmus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Algorithmus]`_`f zum Verschlüsseln und zum Entschlüsseln identisch ist. Sie sind damit besonders bequem zu handhaben. Ein einfaches Beispiel aus der `F33f`_`[Kryptologie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kryptologie]`_`f ist die `F33f`_`[Verschiebechiffre`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Verschiebechiffre]`_`f `F33f`_`[ROT13`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=ROT13]`_`f, bei der zur `F33f`_`[Verschlüsselung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Verschlüsselung]`_`f jeder Buchstabe durch den um 13 Stellen im `F33f`_`[Alphabet`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Alphabet_(Kryptologie)]`_`f verschobenen Buchstaben ersetzt wird. Die zweimalige Anwendung dieser Methode ergibt eine Verschiebung um 26 Buchstaben und damit wieder den ursprünglichen `F33f`_`[Klartext`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Klartext_(Kryptographie)]`_`f. In der Geschichte gab es aber auch wesentlich komplexere involutorische Verschlüsselungsverfahren. Das wohl bekannteste Beispiel ist die deutsche Verschlüsselungsmaschine `F33f`_`[ENIGMA`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Enigma_(Maschine)]`_`f, die im `F33f`_`[Zweiten Weltkrieg`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zweiter_Weltkrieg]`_`f im Nachrichtenverkehr des `F33f`_`[deutschen Militärs`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wehrmacht]`_`f verwendet wurde.

Die logische Funktion `F33f`_`[Exklusives Oder`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Exklusives_Oder]`_`f ist ebenfalls selbstinvers und wird daher unter anderem in Verschlüsselungsalgorithmen wie `F33f`_`[One Time Pad`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=One_Time_Pad]`_`f eingesetzt.

>>Körperinvolution

Unter einer `!Körperinvolution`! versteht man üblicherweise eine Involution, die zugleich ein Körper`F33f`_`[automorphismus`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Automorphismus]`_`f ist.

Von einer Körperinvolution σ σ {\\displaystyle \\sigma } über einem Körper K {\\displaystyle K} fordert man also

σ σ 2 = id K {\\displaystyle \\sigma ^{2}=\\operatorname {id} _{K}}

sowie für alle a , b ∈ ∈ K {\\displaystyle a,b\\in K}

σ σ ( a + b ) = σ σ ( a ) + σ σ ( b ) {\\displaystyle \\sigma (a+b)=\\sigma (a)+\\sigma (b)}

und

σ σ ( a b ) = σ σ ( a ) σ σ ( b ) . {\\displaystyle \\sigma (ab)=\\sigma (a)\\sigma (b).}

Die bekannteste nichttriviale Körperinvolution ist die `F33f`_`[Konjugation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Komplexe_Konjugation]`_`f über den `F33f`_`[komplexen Zahlen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Komplexe_Zahl]`_`f. Aus diesem Grund benutzt man für eine Körperinvolution oft die gleiche Schreibweise wie für die komplexe Konjugation: Anstelle von σ σ ( a ) {\\displaystyle \\sigma (a)} wird häufig a ¯ ¯ {\\displaystyle {\\overline {a}}} geschrieben.

Ein anderes Beispiel ist der Automorphismus des Körpers

Q ( 2 ) = { a + b 2 ∣ ∣ a , b ∈ ∈ Q } , {\\displaystyle \\mathbb {Q} \\left({\\sqrt {2}}\\right)=\\left\\{a+b{\\sqrt {2}}\\mid a,b\\in \\mathbb {Q} \\right\\},}

der durch

a + b 2 ↦ ↦ a − − b 2 {\\displaystyle a+b{\\sqrt {2}}\\mapsto a-b{\\sqrt {2}}}

definiert ist. Man beachte, dass er im Unterschied zur komplexen Konjugation den Betrag nicht erhält:

| 7 − − 5 2 | ≈ ≈ 0 , 1 , {\\displaystyle |7-5{\\sqrt {2}}|\\approx 0{,}1,} aber | 7 + 5 2 | ≈ ≈ 14 , 1. {\\displaystyle |7+5{\\sqrt {2}}|\\approx 14{,}1.}

>>Literatur

• Involution. In: `F33f`_`[Michiel Hazewinkel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Michiel_Hazewinkel]`_`f (Hrsg.): `F33f`_`[Encyclopedia of Mathematics`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Encyclopedia_of_Mathematics]`_`f. Springer-Verlag und `F33f`_`[EMS`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=European_Mathematical_Society]`_`f Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

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